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Skifreizeit trifft Mathematik

Schloss Torgelow: Internat & Gymnasium Torgelow News Skifreizeit trifft Mathematik

In der 11. Klasse modelliert eine Klausuraufgabe am Internatsgymnasium Schloss Torgelow das Höhenprofil einer Skipiste in Obertauern. Wer genau hinschaut, rechnet und kombiniert, kommt der Lösung Schritt für Schritt näher. Eine spannende Herausforderung für alle, die ihre Mathe-Skills testen möchten.

Aufgabe:

2. Achtung: Alle Ergebnisse sollen mathematisch exakt auf zwei Dezimalstellen gerundet werden. Mit den jeweils gerundeten Werten weiter rechnen.

Die Funktion g(x) = – 0,125x⁴ + 0,25x³ + 3x² modelliert das Höhenprofil einer Skipiste in Österreich.   

                                                                                                                                                       1LE = 100 m

a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g(x) im Koordinatensystem für −4 ≤ x ≤ 6.

b) Die Liftanlage befindet sich in der rechte Nullstelle von g(x). Der Lift führt zum ersten Gipfel G₁ (höchster Gipfel). Die Funktion besitzt insgesamt zwei Gipfel G₁ und G₂. Geben Sie die Koordinaten beider Gipfel an. Ermitteln Sie den Höhenunterschied zwischen den Gipfeln. Die Hütte H ist ein Tiefpunkt der Piste.

c) Berechnen Sie die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion g(x) auf dem Abschnitt der Abfahrt von G₁ (höchster Gipfel) zu Hütte H.

d) Wo ist die Piste von g(x) am steilsten? Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes. Bestimmen Sie den Steigungswinkel an der gesuchten Stelle.

e) Zur Entwicklung des Wintertourismus soll eine gradlinig verlaufende Seilbahn gebaut werden, die die Gipfel G₁ und G₂ miteinander verbindet. Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die die Seilbahnstrecke als Funktion k(x) beschreibt und berechnen Sie die Länge dieser Strecke.